Comme je vous le disais, on peut remplacer des chiffres par des lettres, et créer des alphabets entier et vastes. Mais il arrive aussi qu'on nomme des nombres par des lettres. C'est le cas de e, contante d'Euler, qui vaut environ 2,718.

Il s'agit d'un nombre transcendant très fort et qui revient souvent en analyse et en statistiques. Sa définition est assez rigolote. Il est la limite d'une somme infinie. N'est-ce pas incroyable ? Vous additionnez une inifnité de nombres et pourtant, le résultat est une valeur finie. Ah, les joies des maths ! Evidemment, il ne faut pas additionner n'importe quels nombres. Il faut additionner l'inverse des factorielles. 1 + 1 + 1/2 + 1/6  + 1/24 + 1/120 + 1/720 ....  si vous continuez le procédé "jusqu'à l'infini", le résultat, c'est e. Sexy et audacieux, n'est-ce pas ? Je vous laissez regarder wikipédia si vous voulez plus de détails.

Dans ses applications les plus connues, il est à la base de la fonction exponentielle. "la fameuse". Celle qu'on vous sert à toutes les sauces dès qu'on parle de finances ou de calculs scientifiques dans les films américains catastrophes. Qui n'a jamais entendu la phrase "OHMAGAD, IL CROIT A UNE VITESSE EXPONENTIELLE". Et ce n'est pas anodin. C'est effectivement une vitesse très élevée. La fonction exponentielle, pour votre culture, est plus forte et plus rapide que n'importe quelle fonction polynomiale. e puissance x, ca "grandit" plus vite que x puissance quelque chose.

Pi. Je ne vais pas m'étaler sur sa définition, nous y reviendrons sur la prochaine question. Certainement la star de tous les nombres transcendants. Celui qu'on apprend quand on a 8 ans. 3,14, quoi ! Eh bien oui. Vous le savez, ce n'est pas un nombre algébrique. C'est un nombre transcendant ! Et c'est cette propriété de transcendance qui a permi de résoudre l'un des problèmes les plus anciens des maths.

Je veux vous parler du fameux problème de la quadrature du cercle. Savez-vous ce que c'est ? Non ? Eh bien l'idée c'est la suivante. On vous dessine un cercle. On vous donne une règle (non graduée), et un compas. Pouvez-vous dessiner un carré qui aura la même aire que le cercle ? La transcendance de pi permet de répondre que non, c'est impossible.

Eh bien voilà un petit exemple de nombre transcendant moins connu. La fonction sinus, que nous avons normalement tous aperçue au collège, n'est pas une fonction algébrique. Encore une fois, pas besoin de rentrer dans les détails de ce qu'est une FONCTION algébrique (différent d'un NOMBRE algébrique, mais l'idée est la même). Pour les applications de cette découverte... Je n'en ai aucune à vous donner. C'est pour moi l'une des beautés des maths. prouver les choses "pour le plaisir".

Il s'agit là d'une combinaison de deux nombres transcendants. Et pour autant, rien n'est moins sûr que la transcendance de ces nombres. On dit souvent que les chats ne font pas des chiens, ou l'inverse. Eh bien en mathématiques, rien n'est moins sûr. Et c'est typiquement le genre de problème auquel s'intéresse l'algèbre. Souvenez-vous : le lien entre les choses, les structures sous-jacentes, etc...

Cette constante apparait dans la résolution du septième problème de Hilbert. Pour l'histoire, Hilbert était un très grand mathématicien. Il a laissé son nom sur plein de choses très intéressantes. Mais il a surtout laissé une liste de 23 problèmes, connus sous le nom de ... Attention, coup de théâtre ... Problème de Hilbert. Ils ont été énoncés en 1900 comme étant les défis majeurs du 20e siècle en mthématiques, et un certain nombre d'entre eux restent à ce jour non résolus. A ne pas confondre avec les 7 problèmes à 1 millions de dollars dont vous avez peut-être déjà entendu parler.

C'est un point pour lequel je me suis rendu compte qu'il n'y avait aucune réponse officielle bien connue. C'est effectivement une lettre grècque, pi. Mais pourquoi l'avoir utilisée pour nommer ce nombre ? Pi, associée à la lettre P... P Comme périmètre (qui doit nécessairement s'écrire de façon similaire en grècque) ? C'est très probable, mais je ne peux vous en dire plus. Je suis preneur de toute réponse ou explication !

Comme je vous le disais précédemment, Pi est un nombre transcendant. Cela en fait donc avant tout un nombre irrationnel. On ne peut pas l'exprimer comme une fraction de deux entiers naturels. Plus généralement, il s'agit d'une constante très difficile à estimer. Et pourtant, il reste une constante très utilisée. On retient souvent 3,14 car cela est suffisant pour les calculs de la vie de tous les jours.

La connaissance des chiffres après la virgule de Pi fait donc l'objet de beaucoup de recherches. Les méthodes sont nombreuses et anciennes. L'arrivée des ordinateurs a permi d'accélérer les choses. Mais beaucoup de gens se sont frappé des heures de calculs répétitifs et méthodologiques pour déterminer cette valeur au mieux. Chaque méthode s'appuie sur une définition différente, ou une approche différente de ce nombre. Et autant vous dire qu'il y a de quoi faire !

Parmi la multitude de définitions qui existent, celle-ci fait un peu office de définition sacro-sainte. Elle émane de la conviction intime des mathématiciens de la grèce antique qu'il existe un rapport entre le rayon d'un cercle et son périmètre. Et que ce rapport est le même pour tous les cercles. Quels que soient leurs rayons, il partagent tous cette constante. C'est une idée très forte, quand on y pense. Mais c'est rarement la définition la plus "propre" et la plus formelle que l'on puisse trouver ou proposer. Même si ça sonne très scientifique, un mathématicien préférera passer par d'autres moyens.

Pour ma part, je préfère le voir comme la limite d'une série particulière. Les séries, ce sont ces sommes infinies dont je vous parlais précédemment pour définir e. Après, ce n'est que mon avis personnel !

Je vous propose ici de laisser vos talents de poètes s'exprimer en retenant le poème suivant. Ce poème est un véritable prodige technique puisque le nombre de lettre dans chaque mot cosntitue les chiffres après la virgule de Pi.

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur, (variante : Glorieux Archimède, artiste ingénieux,)
Qui de ton jugement peut priser la valeur ? (variante : Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,)
Pour moi ton problème eut de pareils avantages. (variante : Soit ton nom conservé par de savants grimoires.)97

Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l’orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle.

Essayons avec la première phrase : Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
3 ,      1 4   1    5          9         2      6          5     3      5

Voilà le spremières décimales de pi : 3,1415926535

x + 1 = 2 est une équation. Toute la question est de retrouver la ou les valeurs possibles que l'on peut donner à x pour que l'égalité soit vérifiée. Et encore... Il n'est même pas certain que de telles valeurs existent.

Bon, ici, par exemple... Si on remplace X par 15 et qu'on ré-écrit tout ça, on obtient : 15 + 1 = 2. On vient d'écrire qu'en fait 16 = 2. Or c'est faux*. La valeur 15 n'est donc pas une solution de cette équation, puisqu'elle nous a fait écrire n'importe quoi. Par contre, la valeur 1 nous fait écrire 1 + 1 = 2. Bingo. Vous venez de résoudre une équation.

*Pour votre culture générale, sachez qu'il existe des espaces où cette égalité est vraie. 16 est bien égal à 2. Je pense notamment à l'anneau Z/14Z, pour les initiés. Pour les moins initiés, mais qui ont quand même été jusqu'en spé maths au lycée, on appelle ça une équation diophantienne. Pour les autres... bah... Contactez-moi et je vous ferai un petit cours particulier.

Cette équation a été établie par Jean-Baptiste Joseph Fourier en 1811. Tout d'abord, la première spécificité de cette équation, c'est l'objet inconnu qu'il faut y retrouver. Ici, on ne cherche pas un ou plusieurs nombres, comme dans l'exemple que je vous donne. On cherche ce qu'on appelle un champs de valeur. Une fonction, si vous préférez. Je vous pose le problème, vous comprendrez très vite.

Imaginez une barre de métal. Du fer, du cuivre, de l'acier. Je vous laisse choisir ! Vous la posez sur une plaque chauffante. La plaque est à une température assez élevée, mais on suppose que cette température est fixe dans le temps. La question que je vous pose est la suivante : si je vous donne un point de la barre de fer, et un instant t, pouvez-vous me prédire la température de la barre de fer, à cet endroit, à cet instant ?

Exemple. On pose la barre de fer sur la plaque chauffante. Tac. le chrono est lancé. Pouvez-vous me dire quelle sera la température de la barre de fer au milieu de la barre, après 5 minutes de chauffe ?

L'équation de la chaleur permet, en théorie, de répondre à cette question. Elle permet de prédire la température n'importe où dans la barre de fer, n'importe quand. C'est très fort, n'est-ce pas ? C'est cette combinaison entre évolution dans le temps et dans l'espace qui la rend si particulière. On parle d'équation aux dérivées partielles. Pour vous prouver que les maths, ce n'est jamais qu'un langage, je vais vous faire un petit cours de vocabulaire :

Le A à l'envers = Pour tout
x = un point de l'espace.
Oméga = l'ensemble des point de la barre de fer.
dT/dt = La variation de temperature T dans le temps (première dérivée partielle de l'équation)
D = une constante qui dépend du matériaux étudié.
Delta T = la variation de Température dans l'espace (deuxième dérivée partielle de l'équation)
P divisé par ro fois c = une autre constante qui dépend du matériau étudié.

Traduction en français : Pour tout point de la barre de fer, la variation de sa température est proportionnelle à la variation de température par rapport à ses voisins.

En gros, la chaleur, ça se diffuse, et plus on est près de la source de chaleur, plus c'est chaud. Et certains matériaux sont plus conducteurs de chaleur que d'autres. Tout ça pour ça. Oui, oui.

Si vous avez fait un peu de physique, vous avez forcément croisé cette équation. Il s'agit de l'une des trois lois établies par newton. Celle-ci est la 2e. Et elle vous prédit que l'accélération d'un objet est proportionnelle directement à la somme des forces qui s'appliquent sur cet objet.

En clair, si vous poussez un objet assez fort, il bouge. AMAZING, n'est-ce pas ? Elle a été publiée par Isaac Newton en 1687 dans son oeuvre majeure Philosophiae naturalis principia mathematica. Et à l'époque, c'était une sacrée avancée sur la compréhension du monde. Pour la petite histoire, sachez qu'il y a eu beaucoup de duels de forces entre Newton et Leibniz, qui ont publié à quelques mois près des résultats similaires, avec des notations différentes. Sauf qu'à l'époque où internet n'existait pas, la question de savoir qui avait eu l'idée en premier était plus difficile à régler. La notion de dérivée d'une fonction, ou comment analyser ses variations, en est un bon exemple. Il existait deux notations, et ce fut celle de Newton qui a été retenue (si je dis pas de bêtise).

Eh non ! Ces équations n'ont rien à voir avec le café Maxwell, ni avec Nespresso. Ce qu'on appelle l'équation de Maxwel est une des 4 équations de Maxwell. Il s'agit des 4 équations qui ont permi de mettre en place et d'unifier les lois de l'électromagnétisme en un tout cohérent.

Les trois premières équations avait été déjà énoncées auparavant. Le génie de Maxwell a consisté à établir une 4e équation faisant le pont entre les trois premières. Les trois premières permettent de décrire notamment le champs magnétique, le champs électrique, et le flux magnétique. Maxwell entreprend de regrouper tous ces travaux et d'y apporter la pierre manquante en énonçant une équation qui permet de relier potentiels et flux, jusqu'alors séparés. Il publia cela en 1830, et depuis, ces équations restent l'approche la plus classique de l'électromagnétisme.

Les équations du premier degré constituent une famille d'équation assez simples à résoudre. Elles sont issues d'une famille plus grande d'équation : les équations polynomiales. Elles ont une seule inconnue, que l'on nomme traditionnellement x, comme je vous l'expliquais en introduction. On les appelle equation du premier degré parce qu'elles ne font intervenir que la première puissance de x. Le degré d'une fonction, c'est la puissance la plus forte de x que contient l'équation.

Equation du premier degré : x + 1 = 0
Equation du deuxième degré : x² - x - 192 = 0
Equation du 42e degré : x⁴² -1 = 0

Elles sont très faciles à résoudre car elle ne font intervenir aucune fonction compliquée. On les fréquente dès notre plus jeune âge au collège, généralement. Ces équations sont reliées à ce qu'on appelle des fonctions affines. Elles ont un avantage certain sur toutes leurs consoeurs de degré supérieur : elles ont toujours des solutions réelles.

Alors ce théorème est très pratique en algèbre. Il permet de caractériser la notion de compacité. La notion de compacité est très importante en algèbre. Il s'agit de voir si l'ensemble que vous étudiez est compacte, c'est-à-dire s'il ne comporte aucun "trou". Vous comprenez aisément que si vous étudiez un bloc de cantal ou un bloc de gruyère, ils n'auront pas les mêmes propriétés. Même chose pour les éponges ou les chewing-gums. Il est donc important de vérifier cette compacité.

Et pour vérifier tout ça, le théorème utilise des suites. Les suites, c'est une recette qu'on vous demande de suivre, étape par étape. Et il y a une infinité d'étapes. L'idée, c'est de dire que si vous vous balladez dans cet espace, en suivant une règle particulière, vous resterez toujours dans cet espace. Même après une infinité de pas. SURTOUT après une infinité de pas. Et aussi étrange que ça puisse paraitre, ça n'est pas toujours le cas. D'ailleurs si ça n'est pas le cas, c'est que votre espace n'est pas compact.

Dans la famille de l'Algèbre, je vous demande la Topologie. L'étude des formes et déformations. C'est dans ce cadre que Henri Poincaré, le dernier véritable mathématicien que le monde ait connu, a énoncé une conjecture en 1904 (conjecture : théorème non prouvé mais dont on a de fortes raisons de penser qu'il est vrai).

Que dit cette conjecture ? Eh bien, elle cherche à comparer une variété de dimension 3, sans bord, à une une hypèresphère en dimension 3. C'est peut-être un peu flou pour vous, et soyons honnêtes, ça l'est pour moi aussi. Cette conjecture cherche à comparer deux types de formes. le premier est très étrange. Le deuxième peut s'apparenter à une orange.

Décryptage de cet énoncé,et un peu de vocabulaire mathématique:

Ce qui est intéressant, c'est de savoir que cette conjecture restait à prouver et ce fut chose faite en 2003 par Perelman, qui refusa tous les prix associés à sa découverte (noblesse d'âme quand tu nous tiens !). En gros, ce mec a réussi à prouver que ces formes sans bord étaient comaprables à des oranges. Il s'agissait, entre autre, de l'un des 7 problèmes à un million. Et vous, vous auriez refuser de telles récompenses ?

Le théorème de Thalès. Avec Pythagore, l'un des plus grands classiques de notre enfance, encore une fois. Thalès lui-même s'en était servi pour mesurer la hauteur d'une pyramide grâce à son ombre. Certainement de tous, l'un des théorèmes les plus pratiques. Comment mesurer la hauteur de votre maison avec un crayon, alors ?

Faites comme ça. Prenez un crayon.
Tenez-le à la verticale.
Fermez un oeil.
Reculez de votre maison jusqu'à ce que le crayon fasse la même hauteur que votre maison (la pointe touche le toit, et le bas touche le sol.
Maintenant, vous mesurez la longueur de votre crayon (1). La longueur de votre bras(2). Et la distance qui vous sépare de votre maison(3).
La hauteur de votre maison vaut environ (3) fois (1), divisé par (2).

Ca c'est la théorie. En pratique, ça reste à vérifer, comme toujours vec les mathématiques.

Alors pour le coup, je ne m'y connais pas du tout en finance, et je vous livre ici ce qu'on collègue m'a expliqué à ce sujet. Il s'agit de l'équation qui permet de modéliser au mieux à l'heure actuelle la finance moderne. Action. Achat. Option. Et elle préconise souvent de mieux diviser, varier son activité, afin de gagner en stabilité et d'être moins facile à couler. Ainsi, les produtis dérivés des produits primitifs ont un impact non négligeable sur le prix de celui-ci. Pour toute question supplémentaire... Ne PAS s'adresser à moi.